开心果 在 2004-11-19 21:47:09 发表的内容
很好的贴。所以我想请楼主解决一个问题：某段曲线用44.1千赫兹的取样频率取了２０个点的值，归一化后的数值如下。请楼主用你的办法把取了样的那部分曲线较完整的恢复出来。如果不行，请说个理由。
|
开心果朋友，您要的结果已经算出来了，下面就是插值多项式在那20个数值点区间的图像，红色的点表示您原来给的数据点，由于系里的服务器也没有安装Hermite插值的插件，所以我用的是单项式基插值多项式，它们的效果差不多的：
[upload=jpg]Upload/200411202382647906.jpg[/upload]
从计算的结果来看，我估计您原来的原始信号曲线可能不属于声波的曲线。为什么呢？
请看看最后一个点和最前头一个点，插值多项式的曲线产生了极大的振幅，也就是说突然产生了极大的误差。
可能有朋友就觉得奇怪了：“你不是说插值多项式对于任何音频曲线都有极小的误差的吗？”——这个问题的答案是：任何音频曲线不等价于任何曲线——音频曲线是由一系列不同频率的正弦、余弦波线性叠加而成，由误差公式可以证明，把正余弦函数代进去算，它的误差数量级前面的系数（也就是f(x)的n+1次导数）是很小的有界值，它是收敛的；但是假如随便代进一条不是音频曲线的曲线，那么那项系数在某些点就可能会变得十分大，可能是发散的，使得最后的误差值变得不可以忽略（就像在这个例子里面的头尾两个点那样），这种现象在数值分析里称为Runge现象。
所以说，为什么我这么强调插值多项式对于音频曲线的奇妙作用，而不把它推广到其它范围，就是是因为音频曲线的特殊性质。
当然，由于我不知道开心果朋友的那条原始曲线，我也不敢绝对地说原始曲线不是音频曲线，也可能这个误差是由于插值多项式的次数还不够高（19次，对于单项式基插值来说是不高的）。
